投入产出法（Input-output method）

In God we trust, all others bring data.

– William Edwards Deming (1900-1993)

不知不觉 2020 年已经过去 1/12 了，1 月的文章也自然咕咕咕了（理直气壮.jpg）。

0. 一觉醒来变成了煤老板！

某天晚上，看着塞满的购物车，你嘀咕「好烦啊，下辈子想当家里有矿的帅哥！」。然而一觉醒来，看着身边堆积如山的煤炭，你不知道是快乐还是忧伤。

你看了看手上的劳力士，记忆如潮水般袭来。你叫朱一蛋，是西虹市最大的煤矿公司老总，正准备回公司开晨会。哎，有钱人的快乐，往往就是这么简简单单……

秘书突然出现，并打断了你的回忆：“老板，晨会时间快到了。”你点了点头，和秘书回到了公司会议室。拿起桌上的财务报表，你大致了解了公司的情况：你的煤炭公司和西虹市的电力公司、铁路运输公司是当地经济三巨头，而且三家公司紧密相连。

煤炭公司每生产价值 1 元的煤炭，需要消耗价值 0.25 元的电和价值 0.35 元的铁路运输服务；
电力公司每生产价值 1 元的电，需要消耗价值 0.40 元的煤炭、价值 0.05 元的电和价值 0.10 元的运输服务；
铁路运输公司每提供价值 1 元的运输服务，需要消耗价值 0.45 元的煤炭、价值 0.10 元的电和价值 0.10 元的运输服务。

晨会开始了，销售部长发言，表示上个月拿到了价值 10000 元的煤炭订单，需要在这个月交付完成。生产部长发言，请求你下达生产数量指示。

心不在焉的你随口回答：“那就生产 10000 元煤炭吧。”

话音刚落，你看到众人怀疑的神色，小声问秘书：“一个月生产 10000 元的煤炭有问题吗？”

秘书：“没有，但是……”

你：“但是什么？”

秘书：“但是生产 10000 元的煤炭，需要消耗 2500 元的电和 3500 元的铁路运输服务。”

你：“没问题啊，花钱买就行了。”

秘书：“而电力公司生产 2500 元的电，需要消耗 1000 元的煤炭、125 元的电和 250 元的运输服务。”

你：“哦，那就再加 1000，生产 11000 元就够了吧。”

秘书：“运输公司提供 3500 元的运输服务，需要消耗 1575 元的煤炭、350 元的电和 350 元的运输服务，加起来是 2575 元的煤炭、475 元的电和 600 元的运输服务。”

你：“所以一共是 12575 元的煤炭？”

秘书：“而这 475 元的电，需要消耗 190 元的煤炭、23.75 元的电和 47.5 元的运输服务。”

……

5 分钟过去了，然而秘书的计算完全没有停下来的迹象，你意识到事情似乎并不简单！

1. 消耗系数方阵（Input Coefficient Matrix）

我们不妨用矩阵的形式表示上面的计算过程：

$\left\{ \begin{array}{l} a_0 = \left(\begin{array}{c} 10000\\ 0\\ 0 \end{array}\right)\\ a_1 = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0.4 & 0.45\\ 0.25 & 0.05 & 0.1\\ 0.35 & 0.1 & 0.1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 10000\\ 0\\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\ 2500\\ 3500 \end{array}\right)\\ a_2 = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0.4 & 0.45\\ 0.25 & 0.05 & 0.1\\ 0.35 & 0.1 & 0.1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 0\\ 2500\\ 3500 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2575\\ 475\\ 600 \end{array}\right)\\ \ldots\\ a_n = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0.4 & 0.45\\ 0.25 & 0.05 & 0.1\\ 0.35 & 0.1 & 0.1 \end{array}\right) a_{n - 1} = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0.4 & 0.45\\ 0.25 & 0.05 & 0.1\\ 0.35 & 0.1 & 0.1 \end{array}\right)^n a_0\\ A = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0.4 & 0.45\\ 0.25 & 0.05 & 0.1\\ 0.35 & 0.1 & 0.1 \end{array}\right) \Rightarrow a_n = A^n a_0\\ a = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} a_0 + a_1 + \cdots + a_n = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} (I + A + A^2 + \ldots + A^n) a_0 \end{array} \right.$

可以留意到对任意给定的产出 x，Ax 就是对应的投入（消耗），因此矩阵 A 被称为 消耗系数方阵（Input Coefficient Matrix）。那么 a 到底是多少呢？回忆等比数列的求和公式，易得：

$(1 - q) (1 + q + q^2 + \cdots + q^n) = 1 - q^n$

容易推广到矩阵的情况：

$(I - A) (I + A + A^2 + \cdots + A^n) = I - A^n$

回忆等比数列的性质，如果 q 的 n 次方趋近于 0，那么和趋近 1/(1-q)：

$\begin{array}{rl} & \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} A^n = 0\\ \Rightarrow \; a = & \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} (I + A + A^2 + \ldots + A^n) a_0\\ = & \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} (I - A)^{- 1} (I - A^n) a_0\\ = & (I - A)^{- 1} \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} (I - A^n) a_0\\ = & (I - A)^{- 1} a_0 \end{array}$

为了简化讨论，我们引入如下的定义：

如果矩阵 A 每个元素都大于等于 0，则称矩阵 A 非负（Nonnegative），向量同理；
如果对任意的非负向量 a0，解出的向量 a 都是非负的，则称矩阵 A 可行。（任何非负外部需求有相应非负的总产值，称为合理的模型。）

什么样的非负矩阵 A 是可行的呢？显然首先需要 A^n->0，以下的矩阵均满足这一条件¹：

A 的行和最大值 $\max \left( \sum_{k = 1}^n A_{1 k}, \sum_{k = 1}^n A_{2 k}, \ldots, \sum_{k = 1}^n A_{\tmop{nk}} \right)$ 小于 1；
A 的列和最大值 $\max \left( \sum_{k = 1}^n A_{k 1}, \sum_{k = 1}^n A_{k 2}, \ldots, \sum_{k = 1}^n A_{\tmop{kn}} \right)$ 小于 1；
A 的所有特征值绝对值的最大值 $\max (| \lambda_1 |, | \lambda_2 |, \ldots, | \lambda_n |)$ 小于 1（充要条件）²。

一般对于消耗系数方阵 A 而言，列和最大值都会小于 1，否则该列对应的商品每生产一件都在亏钱（毕竟这不是裴péi总的小说😂），所以这个条件一般都能满足。

接下来我们要使 a 可解，显然只要 I-A 可逆即可满足。

最后对任意的非负向量 a0，解出来的 a 也是非负向量。显然如果矩阵 (I-A)^-1 非负，即可保证成立。³

解决了可解性的问题，现在我们回头再看，(I-A)^-1 有什么实际的意义？回顾消耗系数方阵的定义，对每一个产出 X 而言，AX 都是其投入，于是增量就是产出减去投入：Y = X-AX =(I-A)X。我们实际求得的，是在保证生产系统稳定运行下，满足增量需求的最低产量。

想明白这一切的你，高兴地打开 Octave（MATLAB/Excel/R/etc）：

A = [0 0.4 0.45;0.25 0.05 0.1;0.35 0.1 0.1];
Y = [10000;0;0];
X = (eye(3) - A)\Y
# X =

   14565.82633
    4481.79272
    6162.46499

顺畅安排好生产任务后，你度过了无忧无虑的第一个月。哎，有钱人的快乐，往往就是这么简简单单……

2. 又好又快，均衡发展

顺利完成第一个月生产任务的你，收到了市政府的会议文件。文件指出，要坚持以经济建设为中心的基本原则，同时也要保证经济的均衡发展。相似的情节再次展开，生产部长又来请求生产任务了……

你揉了揉脑袋，「以经济建设为中心」暂时想不出来，那么怎么才能保证经济的均衡发展呢？你很快意识到，首先需要衡量增长的快慢，然后让三家公司的增长率完全一致就可以了！

由于已经知道产出向量是 X，投入向量是 AX，增长率自然就是 X 的每一个元素，除以 AX 的对应元素。「咦，怎么有点熟悉的感觉？唉，如果 A 不是矩阵而是个常数就好了……等等，把矩阵当作常数？！」

灵光一闪，你喊出了三个字：“特！征！值！”

如果矩阵 A 恰好有一个小于 1 的正特征值 l，而且这个特征值对应的特征向量也是正的，只要令 X 为特征向量，则 AX=lX，增长率自然都是 1/l。于是你又美滋滋打开了 Octave：

[V, L] = eig(A)
# V =

   0.704192   0.814191  -0.031341
   0.420672  -0.326962  -0.746050
   0.571969  -0.479781   0.665152

# L =

   0.604458          0          0
          0  -0.425804          0
          0          0  -0.028654

简单验算后你发现真的存在：

$\begin{array}{l} Av_1 = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0.4 & 0.45\\ 0.25 & 0.05 & 0.1\\ 0.35 & 0.1 & 0.1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} 0.704192\\ 0.420672\\ 0.571969 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0.42565\\ 0.25428\\ 0.34573 \end{array}\right)\\ \lambda_1 v_1 = 0.604458 \cdot \left(\begin{array}{c} 0.704192\\ 0.420672\\ 0.571969 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0.42565\\ 0.25428\\ 0.34573 \end{array}\right) = Av_1 \end{array}$

于是只要让这一个月的投入尽可能接近特征向量的倍数即可。上个月的结余为 (4566, 4482, 6162)，故可以令投入 AX = 6484 * v1 = (4566, 2728, 3709)，因此产出 X = 1/l * (4566, 2728, 3709) = (7553, 4513, 6136)，投入产出比 1/l = 1.6544。

完成与电力公司和运输公司的生产协商后，你抬了抬手上的劳力士，又是枯燥的一个月呢……

3. 多快好省真的存在吗？

虽然对矩阵 A 取得了阶段性的胜利，但这个方法是可行的吗？具体而言：

什么样的矩阵才能保证拥有正的特征值和特征向量？
这样求出的投入产出比是最大的吗（经济增长最快）？

对于问题 1，我们有著名的 Perron-Frobenius 定理：一个不可约的非负方阵，特征值绝对值的最大值一定为正，而且它对应的（左/右）特征向量只有一个，且这个特征向量是正的。虽然大部分的矩阵都是不可约的，但是可约的矩阵也不代表不存在正的特征值与特征向量，只是也许存在且好几个也许不存在罢了。

写这篇文章之前纠结了好久要不要把这个定理的证明写出来，在翻阅了三个不同的证明后放弃了这个想法……虽然这个定理很美妙，但是证明的完整篇幅比这篇文章的几倍还长😂简要叙述一下其中一个证明的思路⁴：类似相似标准型的做法（但还是很巧妙！），不可约的矩阵最后都会置换相似于一个行和相等的矩阵（称为标准型），假设行和为 q，很容易证明 q 就是矩阵的特征值，同时置换矩阵（全是正数）给出了一个特征向量。~~我就知道肯定没人会看的233~~

而问题 2 取决于衡量快慢的标准，如果只需要让增长率的均值（总和）最大化，像开头一样只生产一项就会「更快」，但显然是不合理的，没有消费的情况下不可能持续下去。可以证明「正特征向量法」能使增长率的最小值最大化（让木桶的短板最长），证明也跳过好了……

4. 哎呀，崩溃啦！

有了「正特征向量法」后，你已经几个月没去过公司了，因为如果 X 是 A 的特征向量，则 $A^2 X = A (AX) = A (\lambda X) = \lambda (AX) = \lambda^2 X$ ，也就是 X 也是 A^2, A^3, … A^n 乃至 A^-1, A^-2, …, A^-n 的特征向量，在这几个月里三巨头都在蓬勃发展，而且似乎永不停歇……

然而今天，秘书突然发来消息，铁路运输公司快要倒闭了！

你心想，完全不可能！正特征向量法保证了每次增长率都会是正数 1/l，怎么可能就变成负值了呢。

然而打开 Octave 一算，竟然是真的：

X = [4566;2728;3709]
A = [0 0.4 0.45;0.25 0.05 0.1;0.35 0.1 0.1];
B = A^-1;
(B^4)*X
# ans =

    38461.91922
   121962.31836
   -62727.86294

“怎么会这样？这根本不科学！”

几天过后，煤炭公司也倒闭了，监狱里也从此多了个疯子，每天都在自言自语：「为什么会变成这样……」

一周目结束，恭喜你获得了 Bad End😂

十分让人意外的是，对于偏离正特征向量的投入 X（哪怕只是因为计算误差偏了一点点），总会存在一个 n，使得 B^n * X 中至少有一项小于 0！⁵ 这意味着对经济发展而言，不平衡才是常态，平衡的概率，仅仅是 n 维空间里的一条射线，无限接近于 0。⁶

如何才能延长崩溃的时间呢？以下结论不难看出：

定期调整投入向量，使其尽可能接近正特征向量；
优化产业结构，改变 A 的正特征向量方向；
促进消费，显然如果把每次的产出增量都消耗完，经济永远不会崩溃；
……

虽然出人意料，但仔细想想又在情理之中，以陈木法先生的评论作为结语吧：

上述结论甚妙，它表明：依据所具备的客观条件，经济有它自身的合理的发展速度。太快了不好，太慢了也不行。其实点破了也就很容易明白。我们可以在一夜之间办起无数的工厂，但没有足够的电力和交通，这些厂子能运转起来吗？我们可创办很多很多的大学，但没有教师，没有足够财力的支持，资料室是空的，实验仪器一样也没有，能算得上大学吗？⁷

5. 今回はここまで

5.1 历史

投入产出法的诞生有一个有趣的小插曲。最早提出投入产出法的是哈佛大学教授 Leontief，当时他和同事希望根据各种统计表计算出美国各行业的生产总值，然而这需要计算一个 24 阶的逆矩阵（但愿你能回想起计算逆矩阵的痛苦）。面对这一矩阵他们犯了难，根据他们估计，即使是一周工作 7 天，算出结果也要花上几百年的时间。恰好哈佛大学发明了第一台原始计算机，于是他们租借这台计算机完成了这一本不可能完成的计算，Leontief 也因此获得了 1973 年的诺贝尔经济学奖。

然而事后他们希望为此付费的时候却被劳工部门阻止了，原因是政府部门有一项政策，货物可以购买，而服务不能购买。后来他们让劳工统计局向哈佛大学开出一张购买固定资产的订单，绕过了这一限制，而这项固定资产叫“逆矩阵”。⁸

文中提及的正特征向量法和崩溃定理，都是由我国著名数学家华罗庚先生提出的⁹。尽管最早是用来证明计划经济的可行性，这一方法很快就推广到市场经济的情形。在随机分析方面的处理，陈木法先生也有贡献⁷。

5.2 现状与局限性

投入产出法的局限性是很明显的：

没有考虑生产能力的限制，对任意的正需求都有正产出；
生产能力不是可持续的，比如煤矿越往后越难挖；
生产能力会被偶然性因素影响，比如农业收成严重依赖天气；
模型必然有误差，然而误差是致命的，会加速经济的崩溃；
……

然而尽管如此，作为一种最简单实用的模型，投入产出法早在 1968 年，就被联合国列为国民经济核算的工具。我国从 1974 年开始编制投入产出表，每隔 2,3 年统计一次，数据均可在国家统计局网站下载¹⁰。感兴趣的也可以试试用正特征向量法分析～

啊，差点忘了，投入产出表要转化成消耗系数方阵，只要（中间产物的部分）每一列除以列和（行和）就行了～（为什么？）

呼，去睡了，好困……

也许你已经留意到，要定义矩阵的极限，需要先定义矩阵的范数，这三个条件实际上是矩阵的三种由欧氏范数诱导的算子范数（Operator Norm），满足 norm(AB) <= norm(A)norm(B)，故若 norm(A) < 1，则 norm(A^n) <= norm(A)^n -> 0。 ↩
也被称为谱半径（Spectral Radius）。必要性是显然的，如果 lim A^n = 0， x 为任一特征向量，l 为对应的特征值，则 $Ax = \lambda x \Rightarrow \lim_{k \rightarrow + \infty} \lambda^k X = (\lim_{k \rightarrow + \infty} A^k) X = 0 \Rightarrow | \lambda | < 1$ ，充分性的证明需要使用 Jordan 标准型。 ↩
矩阵 (I-A)^-1 被称为 Leontief 逆矩阵。 ↩
华罗庚《高等数学引论余篇》。 ↩
学过概率论的可能会联想到马尔可夫链的极限定理，两者确实是有联系的～ ↩
按测度论的观点就是 0。 ↩
《随机过程导论》及后面的参考文献。 ↩ ↩²
《女士品茶（The Lady Tasting Tea）》，Chapter 17。 ↩
《计划经济大范围最优化的数学理论》，I-X。 ↩
最近的一次是 2019 年发布的 2017 年投入产出表: http://data.stats.gov.cn/ifnormal.htm?u=/files/html/quickSearch/trcc/trcc01.html&h=740 。 ↩

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